一、四色问题的解答
1四色定理和环面七色定理
1852年,伦敦大学学生Francis Guthrie提出:“看来,每幅地图只需要用四种颜色着色,便可以使得所有有共同边界的国家着上不同的颜色”.这就是被誉为世界近代三大数学难题的四色定理.
1890年,英国数学家Heawood证明了环面上的任意地图可以用七种颜色着色,并提出环面上七个图形两两相邻的特例.如图1,粘合矩形的对边,把它上面的七个地区转换到环面上,使得每两个地区都相邻,即所有七个地区应该着上不同的颜色.
图 1
2四色定理和环面七色定理的证明
2.1染色的条件、性质和定理
地图染色存在两个先决条件.一是两国相邻是指它们的公共边界上至少包含一段连续曲线,两个只在一个或有限个点接壤的国家不算相邻.二是国家是指由一条或若干条不自交的连续闭曲线围起来的连通闭曲域,但是一个国家不能有两块或两块以上互不毗邻的领土.否则我们无法用有限种颜色对它们染色使得任何两个相邻的国家染上的颜色都不同.
为论证四色定理,提出以下引理.
引理 1一个平面上的地图可以通过这样的方式转换到球面上去.如图2,我们这样想象,保持所有的单个图形相邻性质不变,只是作一些形状和大小的改变,而把地图以外的广大区域想象为一个点,通过扭曲闭合转化为球面,不难想象,此时球面上地图和平面上地图保持着相同的染色性质；反之亦然,在球面上的地图,我们先寻找若干个图形的一个公共点(可视为公共点在若干个图形上,也可视为公共点不在若干个图形上,另外也可以是一条公共线段),沿这个公共点(公共线段)展开可得平面图.这就是说在平面上的四色定理,扩展到球面上照样适用.由此可以得出：一个平面上有限个图形组成的地图的最外围图形数量可以转换而不影响本地图的着色性质。
引理2在平面或球面上,最多只有四个图形可以两两相邻.在研究平面地图的单个区域图形两两相邻问题时,两个图形两两相邻,三个图形两两相邻情形较简单,在此不作详述.如图3,在四个图形两两相邻时,中间的图形已经被外围三个图形完全包围.中间的那个图形不可能再和其他图形相邻了,所以最多只有四个图形可以两两相邻,不可能有五个或者更多的图形两两相邻,这是四色定理成立的前提.事实上,在平面或球面上二、三、四个图形两两相邻情形是唯一的.
引理3如果由n个图形组成的地图的最外围图形是5个或者5个以上，并且用四色染色确保所有有共同边界的图形着上不同的颜色,那么其最外围的图形存在使用3种及其以下颜色染色的可能性.
证明:假定对于由n个国家构成的平面地图用4种颜色染色满足要求,如图4,最外围的(带+号)图形超过5个，假定必须用4种颜色染色,不论怎样染色，在最外围的众多图形中当一个图形（要选定有重复染色的图形,必然存在）环抱所有带+号的图形时（没有改变此图的染色性质），就产生了矛盾,每当最外围使用4种颜色染色时，我们总能找到其自相矛盾的情形，因此可以得出结论：最外围的图形存在使用3种及其以下颜色染色的可能性.此定理可成为四色定理的递推基础.这三条定理能够揭示四色定理的奥秘.
图2图3图4
2.2四色和七色定理的证明
2.2.1用数学归纳法证明四色定理
1）显然，对于任意的由1、2、3、4个组成的图形,四色定理正确.对于任意的5个图形组成的图形，根据“最多只有四个图形可以两两相邻”的分析，可知任意的5个图形时四色定理正确.
2）假设任意n个图形时四色定理正确,那么我们分析n+1个地图图形的情形.①如果任意n个图形的地图最外围是3个及其以下，n+1个任意的地图图形用四种颜色着色明显正确.②如果任意n个图形的地图最外围是5个及其以上，根据引理3,可知其最外围存在使用3种颜色或者3种以下颜色染色的可能性,所以任意n+1个图形时四色定理正确.③如果任意n个图形的地图最外围是4个，根据引理1，我们将这个地图转化为最外围是是5个及其以上组成的地图，也容易证明任意n+1个图形时四色定理正确.
2.2.2用对接转换方法证明环面七色定理
任意的一个环面可以这样由球面转换.假想在拥有很多地图图形的球面上,从两端各去掉一个图形,两端使用三种颜色或者三种以下的颜色就足够了,如果一端由A、B、C或者三个以下包围,另一端由B、C、D(或者A、B、D或者A、C、D）及其以下包围,只要把另一端的B、C(或者A、B或者A、C)换为E、F就行了,此时用六色就足够了.如果两端均由A、B、C三色包围,这时需要把一端的A、B、C换为E、F、G三色，因为中间还有用颜色D的，此时需要七色.
3说明
染色问题涉及到无穷尽图形的繁杂组合，只能作一些浅显的理论分析，由于没有具体的染色换色法则，不能简捷的人工染色.在分析时使用动态的分析方法，即视为地图的单个图形在不改变总体着色性质的情况下,单个或部分图形是可以变化的.四色定理适用于二维空间面,如平面、马鞍面、抛物面、球面、弯曲的圆柱面.染色问题针对不同的条件会有不同的结论，在一条直线上，只需要两种颜色就可以把一条直线分成无数段，平面和球面上的地图需要四色，环面上则需要七种颜色，三维空间上任意堆积严密的实物模型因两两相邻不受限制,所以没有最少数目的颜色将其区别.正象一团面条或者一条绳子,每根面条或者绳线显然是可以两两相邻的,所以我们不能用有限种颜色把他们分开,而且使相邻的颜色均不同.
二、”四色问题”是什么
四色问题
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（右图）
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。
肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。
他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
参考资料：http://www.cztjb.com.cn/jiaoyanyd/jiaoyanzhu/math/quwei/web/%CB%C4%C9%AB%CE%CA%CC%E2.htm
三、四色问题
四色问题和我们上一篇文章所提到的一笔画问题都是图论中的重要问题,这个问题的提出还要追溯到19世纪。
1852年，英国的大学生兄弟在给英国地图上色时发现,想要让任意两个有公共边界的曲域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他们自己证明不了这个结论，于是向数学家摩根求教。摩根很容易证明出了三种颜色是不够的，需要至少三种颜色，但是并没有解决这个问题。而且当时这个问题并没有得到数学家们的重视。
直到1878年，英国数学家凯莱在《伦敦数学会文集》上发表《论地图着色问题》的文章。由此才引起了数学界更大的注意。
因为很长一段时间内四色问题并没有得到较好的解决，于是数学家们退而求其次，希望先证明更弱的命题。
很快地，数学家们也得出了两个更弱的结论：
1.“五色问题”是成立的。
2.对于有限个国家的地图着色问题，四种颜色是足够的。
这里我们发现，有时候退而求其次，先解决更弱的数学问题也是一种数学素养。
直到1976年，美国伊利诺伊大学的哈肯和阿佩尔根据前人的算法，在计算机的帮助下，耗时1200小时，最终证明了四色猜想。
四色问题是人类第一次使用计算机解决并证明数学问题，不得不说这是数学发展史上的一大步.
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