一、分离变量法的理论依据
分离变量法的理论基础之一是线性叠加原理,故其只能解决线性定解问题.在用分离变量法的过程中多次应用叠加原理,不仅方程的解是所有特解的线性叠加,而且处理非齐次方程泛定方程问题时,把方程条件也视为几种类型叠加的结果,从而将其“分解”.
对于线性叠加原理,其物理表述为：“几个物理量共同作用产生的结果,等效于各个物理量单独作用时各自产生效果的总和”.
分离变量法的理论基础之二是本征函数系的正交完备性.只有本征函数系是正交完备的,才能将平方可积的初始条件按本征函数展开傅氏级数.由于可以把二阶常微分方程转变为共同的表达形式,即斯特姆---刘维型方程,对其各种的本征函数系的正交完备问题可归结为斯特姆---刘维型本征值问题.我的毕业论文就是做分离变量法.
二、分离变量法解微分方程
形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。
求解可分离变量的微分方程的方法为：
（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx。
（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。
例如：
一阶微分方程
dy/dx=F(x)G(y)。
第二步
dy/(G(y)dx)=F(x)。
第三步
∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C。
得通解。
特点
常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
三、什么叫分离变量法
分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。
将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。
扩展资料
分离变量法的理论基础之一是线性叠加原理，故其只能解决线性定解问题。在用分离变量法的过程中多次应用叠加原理，不仅方程的解是所有特解的线性叠加，而且处理非齐次方程泛定方程问题时，把方程条件也视为几种类型叠加的结果，从而将其“分解”。
对于线性叠加原理，其物理表述为：“几个物理量共同作用产生的结果，等效于各个物理量单独作用时各自产生效果的总和”。
参考资料来源：百度百科-分离变量法
四、分离变量法是什么
分离变量法
分离变量法是将一个偏微分方程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程
主要思想
将方程中含有各个变。量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。
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